计量经济学中几个常见的证明

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证明一：$\bar{\hat{y}}=\bar{y}$


证明二：回归直线通过$\bar{x},\bar{y}$


证明3：最小二乘法估计量无偏性的证明

所谓无偏性，就是两个估计量的期望等于他们的真实值。即，要证： $$ E(\hat{b_{1}})=b_{1} \quad E(\hat{b_{0}})=b_{0} $$ 因为 $$ y_{t}=b_{0}+b_{1} x_{t}+u_{t}. $$ 且由线性可知 $$ \hat{b}_{1}=\sum k_{t} y_{t} $$ 所以由（2），（3）

$$% 注意 \tag{…} 编号的位置
\begin{equation}
\begin{split}
\hat{b}{1}&=\sum k{t} y_{t}\&=
\sum k_{t}\left(b_{0}+b_{1} x_{t}+u_{t}\right)\&=b_{0} \sum k_{t}+b_{1} \sum k_{t} x_{t}+\sum k_{t} u_{t}\&=b_{1}+\sum k_{t} u_{t}
\end{split}
\tag{4}
\end{equation}$$
$$
\hat{b}{1}=b{1}+\sum k_{t} u_{t}
$$
两边取期望，得证

附录

以下是计量经济学证明中常用的几个结论。