伊藤引理帮助求解随机过程下函数的微分，其数学推导比较复杂。
应用于金融数学中的随机过程，尤其是BHM公式的推导。
在学习之前，我们需要回顾两个知识:泰勒公式与随机过程。
泰勒公式
在高数课本中，我们知道 $$ \underbrace{f(s+d s)=f(s)}+f^{\prime}(s) d s+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(s)(d s)^{2}+… $$ 将花括号的部分进行移项、相减，就得到： $$ d_f=f^{\prime}(s) d s+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(s)(d s)^{2}+… $$ 这是一元下的情况。随机过程下的金融资产价格
由于资产价格遵循几何布朗运动，而非普通布朗运动。 几何布朗运动的表达式是： $$ \frac{dS}{S}=\mu d t+\sigma d x $$ 其中$\mu$比较小，波动性$\sigma$随机 . 稍作变化，得: $$ ds=\mu S d t+\sigma S d x $$伊藤引理
由前面我们知道： $$ d_f=f^{\prime}(s) d s+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(s)(d s)^{2}+… $$ 这是一元下的情形，如果我们将资产价格展开，他同时含有变量$x,t$。 类似的，我们先对$x,t$求一阶偏导,如下方花括号所示。 $$ d f=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial s} \cdot d s+\frac{\partial f}{\partial t} d t}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial s^{2}} d s^{2} $$同样的对$x,t$求二阶偏导,如上方花括号所示，其中对$t$的二阶偏导过小，被忽略,如下方花括号所示，只剩下对$s$的偏导。
$$
d f=\frac{\partial f}{\partial s} \cdot d s+\frac{\partial f}{\partial t} d t+\underbrace{\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial s^{2}} d s^{2}}
$$
对于上式的$ds$,代入几何布朗运动：
$$
ds=\mu S d t+\sigma S d x
$$
有：
$$
\begin{aligned}
d f=&\frac{\partial f}{\partial s} \cdot d s+\frac{\partial f}{\partial t} d t+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial s^{2}} d s^{2} \=&\frac{\partial f}{\partial S}[\mu S d t+\sigma S d x]+\frac{\partial f}{\partial t} d t+\underbrace{\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial S^{2}} \sigma^2 S^{2} d t}\=&\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu s \frac{\partial f}{\partial s}+\frac{1}{2} \sigma^{2} s^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial s^{2}}\right) d t+\sigma S \frac{\partial f}{\partial s} d x
\end{aligned}
$$
值得注意的是，花括号的部分推到下一部过于复杂，我也没仔细研究，最好当结论记忆。