伊藤引理帮助求解随机过程下函数的微分，其数学推导比较复杂。
应用于金融数学中的随机过程，尤其是BHM公式的推导。
在学习之前，我们需要回顾两个知识:泰勒公式与随机过程。
泰勒公式
在高数课本中，我们知道
$$
\underbrace{f(s+d s)=f(s)}+f^{\prime}(s) d s+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(s)(d s)^{2}+…
$$
将花括号的部分进行移项、相减，就得到：
$$
d_f=f^{\prime}(s) d s+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(s)(d s)^{2}+…
$$
这是一元下的情况。
随机过程下的金融资产价格
由于资产价格遵循几何布朗运动，而非普通布朗运动。
几何布朗运动的表达式是：
$$
\frac{dS}{S}=\mu d t+\sigma d x
$$
其中$\mu$比较小，波动性$\sigma$随机 .
稍作变化，得:
$$
ds=\mu S d t+\sigma S d x
$$
伊藤引理
由前面我们知道：
$$
d_f=f^{\prime}(s) d s+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(s)(d s)^{2}+…
$$
这是一元下的情形，如果我们将资产价格展开，他同时含有变量$x,t$。
类似的，我们先对$x,t$求一阶偏导,如下方花括号所示。
$$
d f=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial s} \cdot d s+\frac{\partial f}{\partial t} d t}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial s^{2}} d s^{2}
$$
同样的对$x,t$求二阶偏导,如上方花括号所示，其中对$t$的二阶偏导过小，被忽略,如下方花括号所示，只剩下对$s$的偏导。
$$
d f=\frac{\partial f}{\partial s} \cdot d s+\frac{\partial f}{\partial t} d t+\underbrace{\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial s^{2}} d s^{2}}
$$
对于上式的$ds$,代入几何布朗运动：
$$
ds=\mu S d t+\sigma S d x
$$
有：
$$
\begin{aligned}
d f=&\frac{\partial f}{\partial s} \cdot d s+\frac{\partial f}{\partial t} d t+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial s^{2}} d s^{2} \\=&\frac{\partial f}{\partial S}[\mu S d t+\sigma S d x]+\frac{\partial f}{\partial t} d t+\underbrace{\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial S^{2}} \sigma^2 S^{2} d t}\\=&\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu s \frac{\partial f}{\partial s}+\frac{1}{2} \sigma^{2} s^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial s^{2}}\right) d t+\sigma S \frac{\partial f}{\partial s} d x
\end{aligned}
$$
值得注意的是，花括号的部分推到下一部过于复杂，我也没仔细研究，最好当结论记忆。
总结
由此我们得出了伊藤引理：
对于$X_{t}$的随机过程的微分方程：
$$
d X_{t}=\mu_{t} d t+\sigma_{t} d W_{t}
$$
对其进行微分后的结果就是：
$$
d f\left(t, X_{t}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu_{t} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2} \sigma_{t}^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right) d t+\sigma_{t} \frac{\partial f}{\partial x} d W_{t}
$$
这就是伊藤引理。