伊藤引理帮助求解随机过程下函数的微分，其数学推导比较复杂。
应用于金融数学中的随机过程，尤其是BHM公式的推导。
在学习之前，我们需要回顾两个知识:泰勒公式与随机过程。
泰勒公式
在高数课本中，我们知道
f(s+ds)=f(s)⏟+f′(s)ds+12f′′(s)(ds)2+…
将花括号的部分进行移项、相减，就得到：
df=f′(s)ds+12f′′(s)(ds)2+…
这是一元下的情况。
随机过程下的金融资产价格
由于资产价格遵循几何布朗运动，而非普通布朗运动。
几何布朗运动的表达式是：
dSS=μdt+σdx
其中μ比较小，波动性σ随机 .
稍作变化，得:
ds=μSdt+σSdx
伊藤引理
由前面我们知道：
df=f′(s)ds+12f′′(s)(ds)2+…
这是一元下的情形，如果我们将资产价格展开，他同时含有变量x,t。
类似的，我们先对x,t求一阶偏导,如下方花括号所示。
df=∂f∂s⋅ds+∂f∂tdt⏟+12∂2f∂s2ds2
同样的对x,t求二阶偏导,如上方花括号所示，其中对t的二阶偏导过小，被忽略,如下方花括号所示，只剩下对s的偏导。
df=∂f∂s⋅ds+∂f∂tdt+12∂2f∂s2ds2⏟
对于上式的ds,代入几何布朗运动：
ds=μSdt+σSdx
有：
df=∂f∂s⋅ds+∂f∂tdt+12∂2f∂s2ds2=∂f∂S[μSdt+σSdx]+∂f∂tdt+12∂2f∂S2σ2S2dt⏟=(∂f∂t+μs∂f∂s+12σ2s2∂2f∂s2)dt+σS∂f∂sdx
值得注意的是，花括号的部分推到下一部过于复杂，我也没仔细研究，最好当结论记忆。
总结
由此我们得出了伊藤引理：
对于Xt的随机过程的微分方程：
dXt=μtdt+σtdWt
对其进行微分后的结果就是：
df(t,Xt)=(∂f∂t+μt∂f∂x+12σ2t∂2f∂x2)dt+σt∂f∂xdWt
这就是伊藤引理。